Modèles linéaires, généralisés et mixtes

Modèles linéaires, généralisés et mixtes

Nouveau modèle › type « Régression linéaire » ou « Modèle linéaire mixte » : une variable Y quantitative, les variables X de l'onglet Variables (transformations et termes croisés compris ; une variable qualitative par ses catégories, l'une d'elles servant de référence).

Sans X : le modèle nul, utile pour comparer les AIC. L'échelle par défaut garde les unités des variables (coefficients par unité) ; UV donne des coefficients par écart-type.

Un modèle mixte (nlme) ajoute des effets aléatoires emboîtés, du plus large au plus fin : une ordonnée à l'origine aléatoire par site, puis par secteur dans son site (un identifiant des observations ou une variable qualitative). Il peut ajouter une autocorrélation dans le temps (CAR1, en temps continu : des années manquantes ne gênent pas ; le temps est un identifiant ou une variable, de nombres ou de dates, et φ est alors d'une année à l'autre : voir Le temps en dates) à l'intérieur du dernier niveau ou, par « dans chaque », d'un niveau plus fin qui n'a pas d'effet aléatoire à lui : le secteur dans son site, quand seul le site a un effet aléatoire. Les coefficients et les variances sont estimés en REML ; la log-vraisemblance, l'AIC, l'AICc et le BIC viennent de l'ajustement en ML, le seul qui compare des modèles aux effets fixes différents. La validation croisée se fait par défaut par le premier effet aléatoire : chaque site est prédit par les effets fixes du modèle ajusté sans lui, comme un site jamais vu.

Pentes aléatoires : sous chaque effet aléatoire choisi, « Pentes aléatoires par site » coche les variables X quantitatives dont la pente change d'un site à l'autre, le plus souvent l'année : chaque site a sa propre tendance, qui varie autour de la pente fixe du modèle ; c'est (1 + annee | site) dans une formule R. La variable doit être aussi un terme X du modèle, quantitatif et seul (transformé ou non), pas en courbe : sinon le modèle est refusé, en la nommant. Avec nlme (un modèle mixte, ou un GLM ou un GAM à loi normale avec CAR1, ajusté par mgcv::gamm), chaque niveau a la matrice de covariance générale de nlme (random = ~ annee | site ; avec des niveaux emboîtés, la liste list(site = ~ annee, secteur = ~ 1)) : la variance de son ordonnée à l'origine, celle de chaque pente et leur corrélation. L'écart-type d'une pente, en unités de Y par unité de X, dit combien les tendances des sites s'écartent de la tendance moyenne : environ 95 % des sites sont à ±2 écarts-types de la pente fixe. La corrélation dit si les sites hauts ont des pentes plus fortes (au-dessus de 0) ou plus faibles (au-dessous) ; elle est celle de l'ordonnée à l'origine prise à x = 0. Le Résumé donne la variance et l'écart-type de chaque ordonnée à l'origine et de chaque pente, et la corrélation de chaque pente avec l'ordonnée à l'origine de son niveau (avec plusieurs pentes à un niveau, leurs corrélations entre elles sont estimées mais pas dans ce tableau : summary(m) du script d'Exporter vers R les donne). Avec une pente, la variance d'un niveau change avec x et sa part de la variance aléatoire n'a plus une seule valeur : le Résumé donne la part de chaque niveau, de sa variance moyenne sur les observations, et les R2 marginal et conditionnel la prennent aussi, comme Johnson (2014) étend ceux de Nakagawa et Schielzeth : la moyenne sur les observations de zᵢᵀΣzᵢ, Σ la matrice du niveau et zᵢ = (1, les valeurs de ses pentes). Centrer : une variable loin de 0, comme l'année (≈ 2010), met l'ordonnée à l'origine aléatoire loin des données (à l'an 0), où sa corrélation avec la pente est près de ±1 ; l'ajustement s'y arrête souvent trop tôt, sur une pente d'écart-type presque nul. Nuée ne centre pas sans le dire : le Résumé signale un ajustement singulier (une corrélation au-delà de ±0,99, ou l'écart-type d'une pente, fois celui de sa variable sur les observations, sous 1 % de l'écart-type résiduel) et, quand la variable est loin de 0 (sa moyenne au-delà de son écart-type), conseille de la centrer, échelle Ctr ou UV dans l'onglet Variables : c'est le même modèle, que nlme trouve alors le plus souvent, l'ordonnée à l'origine prise à la moyenne de la variable. Une variable centrée et un ajustement singulier : les données ne permettent pas d'estimer cette pente ou cette corrélation ; comparez par l'AIC le modèle sans elle. Un échec de l'ajustement reste « Le modèle n'a pas pu être ajusté ».

Dans un GLM ou un GAM ajusté par mgcv::gam (une autre loi que la normale, ou sans CAR1), une pente aléatoire est un terme s(site, annee, bs = "re") (Wood, 2017) : indépendante de l'ordonnée à l'origine aléatoire, sans corrélation, mgcv ne sachant pas les corréler. Ce modèle dépend de l'endroit où x vaut 0 : x centré, l'ordonnée à l'origine aléatoire est le niveau de chaque site à la moyenne de x ; l'année non centrée ne laisse guère de place à la variance de la pente. Le Résumé le dit. Refait avec CAR1 (mgcv::gamm), un tel modèle a ses pentes corrélées, comme nlme.

Avec des pentes aléatoires : la validation croisée prédit un site jamais vu par les effets fixes ; la sélection par AIC ne choisit que les effets fixes, et le groupe d'une variable qui a une pente aléatoire reste dans chaque modèle (une pente aléatoire suit la pente fixe de sa variable) ; dans Apport des blocs, sans cette variable, sa pente fixe seule est retirée et sa pente aléatoire reste (le test de la pente moyenne, avec les mêmes effets aléatoires) ; deux modèles aux pentes aléatoires différentes n'ont pas les mêmes effets aléatoires : pas de test du rapport de vraisemblance entre eux, ils se comparent par l'AIC sur les mêmes observations ; Ajuster avec CAR1 garde les pentes ; les prédictions sont celles des effets fixes. Non couvert : dans nlme, une pente non corrélée à l'ordonnée à l'origine ((0 + annee | site), (1 | site) + (0 + annee | site), ||), refusée dans la formule R ; la pente aléatoire d'une variable qualitative, d'un terme croisé ou d'une courbe.

Type « Modèle linéaire généralisé (GLM) » ou « Modèle additif (GAM) » (mgcv), pour une variable Y qui ne suit pas une loi normale. Loi de Y : Poisson pour des comptages ; binomiale négative pour des comptages qui varient plus qu'une loi de Poisson ne le permet (son θ estimé) ; Poisson à excès de zéros pour des comptages qui ont plus de zéros qu'une loi de Poisson n'en donne (ses θ₁ et θ₂ estimés) ; binomiale pour la présence-absence (0 ou 1) ; gamma pour des valeurs positives ; Tweedie pour des densités avec des zéros (sa puissance p estimée) ; bêta pour des proportions strictement comprises entre 0 et 1 (sa précision φ estimée) ; ou normale. Le lien est log (comptages, gamma, Tweedie ; pour le Poisson à excès de zéros, celui de son paramètre de Poisson μ), logit (binomiale, bêta) ou l'identité (normale). Effort (décalage) : une variable comme une surface, une durée ou un nombre de passages, dont le log entre dans le modèle avec un coefficient 1 : il décrit alors une densité (un effort nul ou négatif est refusé). Des effets aléatoires comme ci-dessus en font un GLMM ou un GAMM. Avec la loi normale et au moins un effet aléatoire, un GLM ou un GAM peut prendre aussi l'autocorrélation dans le temps : il est alors ajusté par mgcv::gamm, comme un modèle mixte de nlme dont les courbes sont des effets aléatoires (coefficients, courbes, variances et φ en REML ; log-vraisemblance, AIC, AICc et BIC d'un ajustement en ML, comparables seulement à ceux d'autres modèles ajustés ainsi). Avec une autre loi, elle est refusée : mgcv::gamm passerait par une quasi-vraisemblance pénalisée (PQL), sans vraie vraisemblance ni AIC. Dans un modèle additif, les variables X cochées dans la colonne Courbe de l'onglet Variables entrent par une courbe lissée (une spline) plutôt que par une droite, pour un effet qui monte puis descend, ou un seuil ; les données décident de sa courbure (son edf ; 1 est une droite). Sa dimension de base k borne sa courbure : 10 au plus, moins quand la variable a peu de valeurs ; tapez-en une autre (de 3 à 100) dans la case à côté de la coche, comme s(x, k = 5) dans R. Une courbe par catégorie : la liste à côté de k offre les variables qualitatives X du modèle (« une par secteur »), comme s(annee, by = secteur) dans mgcv : chaque secteur a sa courbe, de dimension k chacune, avec son edf, son test, sa concurvité, son effet et ses seuils. Chacune est centrée sur les observations de sa catégorie (la contrainte d'identifiabilité de mgcv) : la variable qualitative doit rester en X, son effet principal donnant l'écart de niveau entre les catégories ; sans lui, toutes les catégories auraient la même moyenne, et Nuée refuse alors le modèle plutôt que d'ajouter ce terme sans le dire. Le facteur que mgcv voit vient des colonnes 0/1 des catégories du modèle (ses niveaux, les catégories observées, dans leur ordre) ; une catégorie ajoutée aux données après la définition du modèle n'y a pas de colonne, donc pas de courbe : ses lignes restent hors du modèle avec les observations incomplètes, et dans un jeu de test, sans prédiction. Une variable en courbe par catégorie n'est pas aussi dans un terme croisé avec une variable qualitative (chaque catégorie a déjà sa courbe). Les courbes et les effets aléatoires sont estimés en REML, et l'AIC vient d'un ajustement en ML ; un GLM sans eux est ajusté par maximum de vraisemblance, comme le font glm() et MASS::glm.nb(). Le résumé d'un modèle de Poisson prévient quand les comptages sont surdispersés (le khi² de Pearson au-delà de 1,5 fois ses degrés de liberté) : ses valeurs p sont alors trop petites, et la binomiale négative convient mieux à ces comptages.

Poisson à excès de zéros et loi bêta (les familles ziP et betar de mgcv ; Wood, Pya et Säfken, 2016). Dans le Poisson à excès de zéros, un modèle à obstacle, un comptage est nul avec la probabilité 1 − p et suit sinon une loi de Poisson de paramètre μ tronquée en zéro ; le prédicteur linéaire est log(μ) (mgcv nomme ce lien « identity » ; exp(coefficient) multiplie μ, l'effort aussi), et p lui est lié par log(−log(1 − p)) = θ₁ + θ₂ log(μ), θ₁ et θ₂ estimés avec le modèle ; θ₁ = 0 et θ₂ = 1 redonnent la loi de Poisson, et son AIC se compare à ceux des modèles de Poisson et binomiaux négatifs des mêmes comptages. Ses valeurs ajustées, ses prédictions, sa validation croisée et son jeu de test sont des comptages attendus, p μ / (1 − e^(−μ)) ; il n'a pas de R² ajusté, seulement la part de déviance expliquée. Il demande des comptages, dont au moins un zéro. Beaucoup de zéros ne font pas un excès de zéros (trop de zéros pour la moyenne du modèle, si) : comparez les modèles par l'AIC et regardez les résidus quantiles ; quand des X expliquent les zéros eux-mêmes, le modèle peut mal s'identifier. La loi bêta est faite pour des proportions strictement comprises entre 0 et 1 (une couverture, une part de temps), de moyenne μ par le lien logit et de variance μ (1 − μ) / (1 + φ), sa précision φ estimée (Ferrari et Cribari-Neto, 2004) ; son AIC se compare à celui d'un modèle de loi normale des mêmes proportions. Une réponse à 0 ou à 1 est refusée, avec le nombre de ces valeurs : mgcv les déplacerait juste à l'intérieur (son eps), ce qui n'est pas sans effet sur l'ajustement ; ramenez-les vous-même dans l'intervalle, en le disant (Édition › Nouvelle variable, par exemple (y * (n - 1) + 0.5) / n pour n observations ; Smithson et Verkuilen, 2006), ou prenez la binomiale pour une présence-absence. Les deux prennent des effets aléatoires, des courbes et le lissage spatial (pas d'autocorrélation CAR1) ; seul le Poisson à excès de zéros prend un effort. θ₁, θ₂ et φ se lisent dans le Résumé, le rapport et les coefficients côte à côte. Sans courbe ni effet aléatoire, l'ajustement en ML de mgcv avec ces deux familles s'arrête parfois sur une erreur de LAPACK : Nuée cherche alors lui-même les paramètres de la loi qui maximisent la vraisemblance (chaque ajustement à paramètres fixés par mgcv), et son script exporté fait de même.

Lissage spatial (onglet Général, pour un GAM d'un projet qui a des coordonnées, voir Cartes et données spatiales) : une surface des coordonnées des observations, s(x, y), une spline de régression en plaques minces sur des coordonnées planes (Wood 2003) ou une spline sur la sphère pour des longitudes et latitudes (s(lat, lon, bs = "sos")), de dimension de base k (vide : 30 au plus, moins avec peu de lieux). Elle prend la structure spatiale que les termes n'expliquent pas : vérifiez-le avec Graphiques › Autocorrélation spatiale des résidus du modèle, et comparez les modèles par l'AIC. Les observations sans coordonnées restent hors du modèle. Son edf et son test sont dans le tableau des courbes du Résumé, et sa valeur en chaque observation est une colonne des résultats du modèle que la carte peut montrer. La formule R l'écrit s(x, y), s(x, y, k = 40) ou s(lat, lon, bs = "sos"). Exporter vers R la refait : le script met les coordonnées dans les colonnes sx et sy du tableau du modèle et le terme dans la formule (avec son k, en plaques minces ou sur la sphère), sa ligne dans le tableau des courbes et une carte de sa valeur en chaque observation.

Conditions du modèle (le Résumé d'une régression) : des repères en mots, chacun ✓ ou ⚠ avec ce qu'on peut faire : la loi des résidus (Shapiro–Wilk, sur les résidus quantiles pour des comptages, des présences-absences et des valeurs positives), une dispersion des résidus qui change avec les valeurs ajustées, les observations influentes (distance de Cook au-delà de 4/n, modèle linéaire), la surdispersion et un excès de zéros (comptages), des termes quantitatifs colinéaires (VIF > 5), des courbes confondues avec les autres termes, et l'autocorrélation spatiale des résidus quand le projet a des coordonnées. Avec beaucoup d'observations un test voit des écarts sans conséquence, avec peu il n'en voit aucun : les graphiques des résidus restent la référence.

Formule R (onglet Général) : le modèle écrit comme dans R, par exemple

y ~ a * b + log10(c) + I(a^2) + s(d) + offset(log(effort)) + (1 | site/secteur).

Modifiez-la puis Appliquer (Ctrl+Entrée) : elle règle les variables et leurs transformations (log, log10, log1p, exp, sqrt, I(x^p), I(a * x + b), le logit log((x - a) / (b - x))), les termes croisés (a:b ; a*b pour a, b et a:b ; a:b sans a : a entre sans effet principal ;

I(a^2) quand a est aussi dans le modèle, sinon le carré de a), les courbes s(x), s(x, k = 5) et s(x, by = f) (une par catégorie de f, qui doit être aussi un terme ; s(x, by = f, k = 5)), l'effort offset(log(x)) et les ordonnées à l'origine aléatoires emboîtées (1 | site/secteur), du plus large au plus fin, avec leurs pentes aléatoires comme lme4 les écrit : (1 + annee | site) ou (annee | site) ; (1 + annee | site/secteur), une pente à chaque niveau ; un terme par niveau, (1 + annee | site) + (1 | site:secteur). Une courbe rend le modèle additif, des effets aléatoires le rendent mixte. R lit la formule sans jamais l'exécuter : tout le reste (une autre fonction, du code) est refusé en disant pourquoi, et la formule n'est pas gardée, seulement les réglages qu'elle donne.

Vues : Résumé (R2, ou R2 marginal et conditionnel pour un modèle mixte, Nakagawa et Schielzeth ; R2 ajusté et déviance expliquée pour un GLM ou un GAM (R2 marginal et conditionnel quand il est ajusté par mgcv::gamm, les courbes dans la partie fixe), avec l'edf, le test et la concurvité de chaque courbe (la part de la courbe que reproduisent les autres termes ; au-delà de 0,8, en rouge, elle se confond avec eux ; une ligne par catégorie d'une courbe par catégorie) ; Q2 et RMSEcv ; AIC ; la variance de chaque effet aléatoire et sa part (avec des pentes aléatoires, voir plus haut) ; φ de l'autocorrélation), Coefficients (l'effet de chaque terme avec son intervalle à 95 %, en rouge quand p ≤ 0,05 ; avec un lien log, exp(estimation) est l'effet multiplicatif d'une unité de plus, avec le logit le rapport des cotes), Effets (l'effet de chaque terme quantitatif quand sa variable varie, les autres fixés, avec sa bande à 95 % et les valeurs observées dessous : les courbes d'un GAM, des droites sinon, une par catégorie pour un terme croisé avec une variable qualitative ou une courbe par catégorie, avec la légende des catégories ; sur l'échelle du lien, log ou logit, quand il y en a un ; pour une courbe, Seuils : l'effet et sa pente avec des intervalles simultanés à 95 % tirés de 2000 jeux de coefficients, les plages où la bande de la pente exclut 0, en hausse ou en baisse nette, colorées et listées, et l'edf, sous 1,5 presque une droite, comme Simpson (2018) lit les seuils ; une courbe qui en a une par catégorie (une courbe par catégorie, ou une courbe croisée avec une variable qualitative) a les seuils de la catégorie choisie dans la liste à côté de la case, sur les percentiles de la variable dans cette catégorie), Observé / prédit, Résidus (standardisés, contre les valeurs ajustées, droite de Henry, par groupe d'un effet aléatoire ; distance de Cook pour une régression linéaire ; aussi les résidus quantiles pour des comptages, une présence-absence ou des valeurs positives, ci-dessous), Apport des blocs (AIC) : chaque bloc de la colonne Bloc (ou chaque variable) retiré et le modèle réajusté en ML, un effet principal avec les termes croisés qui le contiennent et les courbes par catégorie qu'il fait (la colonne Avec les nomme) ; un ΔAIC au-dessus de 2 dit que le bloc améliore nettement le modèle, un test du rapport de vraisemblance donne son p. Les observations où Y, un X, un effet aléatoire, le temps ou l'effort manque sont laissées de côté (le résumé les compte).

Résidus d'un GLM ou d'un GAM à loi de Poisson, binomiale négative, binomiale, gamma, de Poisson à excès de zéros ou bêta : à côté des résidus de déviance standardisés (ceux par défaut), les résidus quantiles randomisés de Dunn et Smyth (1996), r = Φ⁻¹(u), F la loi du modèle à la valeur ajustée de chaque observation (ses effets aléatoires et son effort compris ; la binomiale négative de son θ estimé, la binomiale d'une épreuve, la gamma de forme 1 / son échelle estimée, le Poisson à excès de zéros tel que mgcv le définit, de ses θ₁ et θ₂, la bêta de formes μ φ et (1 − μ) φ) : u = F(y) pour les lois gamma et bêta, et pour des comptages ou des 0/1, u tiré uniformément entre F(y − 1) et F(y), avec une graine fixe, pour que le graphique ne change pas d'un regard à l'autre (le hasard de la séance reste tel qu'il était). Les résidus de Pearson ou de déviance de comptages sont loin de la loi normale même quand le modèle est juste ; ces résidus la suivent quand il l'est. Pas pour Tweedie (les paquets livrés avec R n'ont pas sa fonction de répartition), ni pour la loi normale, où ce seraient les résidus standardisés.

Graphiques › Autocorrélation des résidus : l'autocorrélation des résidus d'une régression dans le temps, à l'intérieur de chaque groupe, les groupes mis en commun, comme la calcule nlme::ACF : au décalage k, les observations à k pas l'une de l'autre dans l'ordre du temps de leur groupe (une année manquante est sautée), des décalages 0 à 10 au plus, avec la bande ±1,96/√n de chaque décalage (n : ses paires), comme la trace nlme. Un modèle avec CAR1 garde son temps et ses groupes et montre deux séries : ses résidus sans l'autocorrélation, et ses résidus normalisés, qui n'en montrent plus quand CAR1 suffit (la note lit le décalage 1). Pour un autre modèle, choisir le temps (un identifiant ou une variable, de nombres ou de dates : l'année) et les groupes : par défaut ceux de ses effets aléatoires (le secteur dans son site), sinon un identifiant ou une variable qualitative ; les uns comme les autres peuvent prendre un niveau plus fin dedans (le secteur dans le site d'un effet aléatoire, ou un secteur dont les noms se répètent d'un site à l'autre). Au-delà de la bande au décalage 1, la note propose une autocorrélation CAR1, à comparer par l'AIC. Pour un GLM ou un GAM, les résidus de Pearson ((y − ajusté) / √variance) ou de déviance (la part signée de chaque observation dans la déviance), les mêmes pour la loi normale ; les résidus d'un modèle mixte sont ceux de l'intérieur de ses groupes (sachant les effets aléatoires), comme dans nlme::ACF. Nuée calcule les résidus normalisés dans l'ordre du temps de chaque groupe : ceux de nlme ne sont justes que sur des lignes rangées par groupe, puis par temps.

Dans les groupes de ses effets aléatoires, avec ou sans niveau plus fin, Ajuster avec CAR1 en fait un nouveau modèle : les mêmes réglages, avec une autocorrélation CAR1 le long de ce temps dans ces groupes (un modèle mixte, ou un GLM ou un GAM à loi normale, alors ajusté par mgcv::gamm ; le bouton n'est proposé qu'alors, et un refus du moteur s'affiche), nommé comme un réajustement (M1 (1)) et choisi avec ses vues par défaut. Un modèle mixte sur les mêmes observations reste dans l'ensemble AIC du modèle sans CAR1 : les deux se comparent par l'AIC dans Prédiction › Comparer les modèles (le test du rapport de vraisemblance ne teste pas une autocorrélation). La note dit quand ils ne se comparent pas : des observations sans temps ou sans groupe restent hors du nouveau modèle, et la vraisemblance de mgcv::gamm ne se compare pas à celle de mgcv::gam. Fichier › Rapport du modèle peut reprendre le graphique.

Graphiques › Sélection par AIC (aussi sous chaque régression, dans l'explorateur) : quelles variables garder. Chaque combinaison des groupes de termes du modèle (les blocs de la colonne Bloc, sinon les variables), du modèle nul au modèle complet, est ajustée en ML sur les mêmes observations et rangée par AICc ; un terme croisé ou un carré n'entre qu'avec ses effets principaux (une variable qualitative par toutes ses catégories) et les termes croisés d'une partie de ses facteurs, une courbe par catégorie qu'avec l'effet principal de sa variable qualitative. Seuls les effets fixes sont choisis : les effets aléatoires, l'autocorrélation, l'effort et le réglage des courbes restent ceux du modèle, et le groupe d'une variable qui a une pente aléatoire reste dans chaque modèle, hors des groupes à choisir. Jusqu'à 8 groupes (256 combinaisons), toutes les combinaisons sont ajustées (un modèle mixte avec CAR1 sur 240 lignes prend une dizaine de secondes) ; au-delà, une élimination descendante depuis le modèle complet retire pas à pas le groupe dont le retrait baisse le plus l'AICc. La vue suggère le meilleur modèle (l'AICc le plus bas) et, s'il diffère, le plus parcimonieux à ΔAICc ≤ 2 (le moins de paramètres ; Burnham et Anderson, 2002) ; elle trace l'importance de chaque groupe (la somme des poids d'Akaike des modèles qui le contiennent) et liste les 20 meilleurs modèles, ou ceux à ΔAICc < 10, avec une colonne par groupe, k, logLik, AICc, ΔAICc, le poids et le poids cumulé. Ajuster ce modèle, sur la suggestion ou sur n'importe quelle ligne (un clic la choisit d'abord), en fait un nouveau modèle : les mêmes réglages avec les seules variables de ces groupes (un terme croisé garde ses facteurs), sur les mêmes observations, ajusté comme les autres (REML pour les estimations) et nommé comme un réajustement (M1 (1)).

Une fois la sélection faite, le texte des méthodes la décrit, le rapport du modèle peut la contenir et Exporter vers R la refait.

Graphiques › Puissance pour une tendance (aussi sous chaque régression linéaire ou modèle linéaire mixte, dans l'explorateur) : avec tant de sites comptés chaque année, en combien d'années une tendance est-elle détectée ? Choisissez le temps (un X quantitatif, non transformé : l'année), la tendance à détecter (un changement par an dans les unités du Y du modèle ; avec une réponse en log10 ou en ln, aussi en % par an, converti en la pente log(1 + %/100) sur cette échelle, une approximation avec log10(x + 1), juste seulement là où x est grand devant 1), α (un test bilatéral), les nombres d'années (de, à) et les nombres d'unités du premier effet aléatoire (les sites ; celui des données y est toujours). Chaque unité est comptée une fois par an, ses niveaux emboîtés comme dans les données, leurs nombres moyens arrondis (2,75 secteurs par site : 3) ; une régression linéaire compte des observations par an. Les variances sont les estimations REML du modèle (effets aléatoires, variance résiduelle, φ de CAR1), et ses autres termes restent hors des plans (leurs effets tenus pour constants). Pour chaque plan, la variance de l'estimateur des moindres carrés généralisés de la pente, ces variances connues, (X'V⁻¹X)⁻¹ avec V la covariance du plan (Diggle et al., 2002), donne la puissance Φ(|β|/et − z) + Φ(−|β|/et − z) : la puissance selon le nombre d'années, une ligne par nombre d'unités, la ligne des 80 %, une phrase prête pour un rapport (« Avec 12 unités de « site », chacune comptée chaque année, une baisse de 3 % par an de « densite » est détectée avec une puissance de 80 % après 11 ans »), et le tableau. Chaque unité étant comptée chaque année, les ordonnées à l'origine aléatoires ne changent rien à la variance de la pente : la variance résiduelle, φ, les années et le nombre de séries comptées la font. Une simulation vérifie la formule à un plan (par défaut celui des données) : N jeux de données (200 par défaut) tirés du modèle avec la tendance, chacun réajusté par nlme avec la même structure (REML), la puissance étant la part des pentes de p ≤ α (Johnson et al., 2015), avec son erreur de Monte-Carlo. Sa graine est fixe (les mêmes jeux à chaque fois ; le hasard de la session reste tel qu'il était), et la vue dit d'abord combien de temps elle prendra : le moteur R ajuste un modèle à la fois et ne fait rien d'autre en attendant (une simulation qui prendrait plus d'un quart d'heure, ou de plus de 20 000 observations par jeu, est refusée). Les deux peuvent différer : la simulation estime les variances et φ dans chaque jeu (avec peu d'unités ou d'années, elles sont incertaines) et teste la pente par le t de nlme, quand la formule les tient pour connues et prend la loi normale. Pas couverts, et refusés avec la raison : les GLM et les GAM, des pentes aléatoires, un modèle sans X quantitatif qui puisse être le temps, une autocorrélation CAR1 le long d'un temps d'autres unités que celui de la tendance. Une fois calculée, le texte des méthodes la décrit, le rapport du modèle peut la contenir et Exporter vers R la refait (la simulation avec les mêmes tirages).

Graphiques › Moyennes ajustées (aussi sous chaque régression qui a une variable qualitative, dans l'explorateur) : la moyenne de chaque catégorie d'une variable qualitative X ajustée sur les autres termes du modèle, comme le calcule le paquet emmeans de R (Lenth ; ses conventions par défaut, sans le paquet) : les moyennes marginales estimées de Searle, Speed et Milliken (1980). Choisir la variable (un effet principal, ou un facteur d'un terme croisé). Chaque moyenne est la prédiction du modèle sur une grille de référence, moyennée : la grille a chaque combinaison des catégories observées des variables qualitatives du modèle ; chaque variable quantitative y est à sa moyenne sur les observations du modèle (une variable transformée, à la transformation de sa moyenne, comme emmeans : le log10 de la moyenne de x, non la moyenne de log10(x)), les termes croisés et les carrés évalués à ces valeurs (le produit des moyennes), une courbe (GAM) à la moyenne de sa variable, l'effort à 1 (des densités, comme offset = 0 dans emmeans) ; la moyenne d'une catégorie est celle des lignes de la grille qui l'ont, à poids égaux sur les catégories des autres variables qualitatives. Son erreur-type est √(L V Lᵀ), V la covariance des coefficients (celle de nlme pour un modèle mixte, celle, bayésienne, de mgcv pour un GLM ou un GAM, comme emmeans), avec son intervalle à 95 %. Dessous, toutes les paires de catégories : la différence avec son intervalle et sa valeur p, ajustés par la méthode de Tukey (par défaut : la loi du maximum studentisé pour le nombre de moyennes comparées ; Tukey 1953, Kramer 1956), par celle de Holm (les valeurs p ; les intervalles par celle de Bonferroni, comme emmeans, la méthode de Holm n'en donnant pas) ou sans ajustement. « Dans chaque niveau de » une autre variable qualitative croisée avec la première (le traitement dans chaque habitat) : les catégories de la première comparées dans chaque catégorie de l'autre, l'ajustement dans chacune. « Pour chaque catégorie › la pente de x », pour une variable quantitative croisée avec elle (annee × secteur) : la pente de x dans chaque catégorie (par unité du terme, transformé s'il l'est), la dérivée des prédictions comme emtrends la prend (une différence avant d'un millième de l'étendue de x), et les paires de pentes ; pour une droite, les pentes de la vue Effets. Les degrés de liberté sont ceux qu'emmeans prend par défaut : les degrés de liberté résiduels pour une régression linéaire, et pour un GLM ou un GAM dont l'échelle est estimée (loi normale, gamma, Tweedie) ; la règle de confinement de nlme pour un modèle mixte (le plus petit de ceux des coefficients qu'une moyenne ou une paire fait intervenir dans le codage par défaut de R, la première catégorie en référence, comme emmeans sur l'ajustement de R ; l'ordonnée à l'origine comptant pour le nombre de groupes du premier effet aléatoire moins un : en général, la moyenne d'un secteur a le nombre de sites moins un, une paire de secteurs dans les sites les degrés de liberté intérieurs ; pour un habitat qui ne change que d'un site à l'autre, la moyenne du premier habitat a le nombre de sites moins un, les autres et les paires ceux de l'habitat, les sites moins un moins ses coefficients) ; z (asymptotique) pour une loi de Poisson, binomiale, binomiale négative, de Poisson à excès de zéros ou bêta, comme emmeans pour glm() et comme les Coefficients du modèle (sur un objet mgcv::gam, emmeans prend les degrés de liberté résiduels quelle que soit la loi). Avec un lien log ou logit, les moyennes sont sur l'échelle de la réponse (exp ; logit inverse : des probabilités, ou des proportions moyennes pour la loi bêta), leurs intervalles transformés depuis l'échelle du lien, et les paires sont des rapports de moyennes ou des rapports des cotes, testés sur l'échelle du lien, comme type = "response" dans emmeans ; l'échelle du lien au choix. Avec le Poisson à excès de zéros, les moyennes sont des comptages attendus, p μ / (1 − e^(−μ)) au prédicteur linéaire log(μ) de chaque catégorie (θ₁ et θ₂ tenus pour connus ; leurs erreurs-types par la méthode delta, leurs intervalles transformés, cette valeur croissant avec log(μ)), et les paires des rapports de comptages attendus, testés sur leur logarithme par la méthode delta, comme regrid(transform = "log") d'emmeans ; sur l'échelle du lien, log(μ). Une variable Y transformée (log10, ln…) reste sur son échelle, et la vue le dit : ramenée sur l'échelle de la variable, une moyenne de logarithmes est une médiane (une moyenne géométrique), non une moyenne. Une combinaison de catégories qu'aucune observation n'a n'est pas estimable (emmeans : nonEst) : sa moyenne et ses paires sont laissées de côté, et nommées. Un clic sur une paire du tableau donne sa phrase pour un rapport (bouton copier) ; Ctrl+C copie les deux tableaux. Une fois calculées, le texte des méthodes les décrit (Searle et al. 1980, emmeans de Lenth, Tukey 1953 et Kramer 1956, ou Holm 1979), le rapport du modèle peut les inclure, et Exporter vers R les refait en R de base (la grille, les lignes L du modèle, la covariance et les degrés de liberté : les mêmes nombres). Non couvert : d'autres poids qu'égaux (weights = "proportional"… d'emmeans), d'autres contrastes que les paires (contre un témoin), une variable quantitative à une autre valeur que sa moyenne.

Prédiction › Prédire les observations, Prédire un fichier : Y prédit par les effets fixes (pour un modèle mixte, un groupe jamais vu), sur l'échelle de Y du modèle (sa transformation comprise), à côté de Y observé quand il est connu. Les colonnes d'un fichier sont reconnues par le nom des variables du modèle, l'effort compris (sans lui, les prédictions sont pour un effort de 1, et la note le dit). ⚠ signale une valeur hors de l'étendue des observations du modèle : une extrapolation.

Prédiction › Comparer les modèles : Q2 et RMSEcv pour tous les modèles ; AIC, ΔAIC et poids d'Akaike (la probabilité que chaque modèle soit le meilleur de son ensemble) entre les seules régressions de la même réponse sur les mêmes observations (un « ensemble AIC », lettré A, B...), et seulement celles dont les vraisemblances se comparent : des modèles de Poisson, binomiaux négatifs et à excès de zéros des mêmes comptages, mais pas un modèle normal de ces comptages ; des modèles de loi normale, gamma ou bêta des mêmes valeurs ; des modèles de Tweedie entre eux ; des GLMM et des GAMM (la vraisemblance conditionnelle de mgcv) entre eux.

Sous le tableau des AIC, Modèles emboîtés : le test du rapport de vraisemblance entre chaque paire de régressions emboîtées d'un même ensemble AIC, comme anova(m1, m2) sur des ajustements en ML. Les termes fixes du petit modèle sont parmi ceux du grand (ses colonnes dans celles du grand), avec la même loi, le même effort, les mêmes effets aléatoires (leurs pentes comprises) et la même autocorrélation ; χ² = 2 × (logLik du grand − logLik du petit) sur Δddl, la différence de leurs nombres de paramètres, et son p. Pour des régressions linéaires et des GLM, c'est l'écart de leurs logLik (de leurs déviances pour un GLM de Poisson ou binomial, comme anova(glm1, glm2, test = "Chisq")). Les effets aléatoires et l'autocorrélation ne se testent pas ainsi : une variance nulle est au bord de son domaine, où la loi du χ² ne tient plus ; comparez-les par l'AIC. Avec des courbes ou des effets aléatoires de mgcv, les ddl sont des edf et le test est approché, comme le dit le tableau. Toutes les paires emboîtées sont listées (2000 au plus) ; la recherche du tableau trouve celles d'un modèle.

Prédiction › Comparer les modèles › Coefficients côte à côte (le choix en haut de la vue) : plusieurs régressions comme les articles les présentent, une ligne par terme et une colonne par modèle. Cochez les régressions du projet à montrer (toutes d'abord). Chaque case est l'estimation avec son intervalle à 95 %, ou avec son erreur-type, du tableau de la vue Coefficients du modèle (ses décimales celles de deux chiffres significatifs de l'erreur-type), en rouge quand p ≤ 0,05, vide quand le modèle n'a pas le terme. Les lignes sont la constante et les termes du premier modèle, puis ceux des autres dans leur ordre : deux modèles partagent une ligne quand ils ont un terme du même nom. Dessous : n, AIC et AICc (ajustement en ML), R² (une régression linéaire), R² marginal et conditionnel (un modèle mixte) ou part de la déviance expliquée (un GLM ou un GAM), l'écart-type σ de chaque effet aléatoire (et le résiduel d'un modèle de nlme), φ de CAR1 et l'edf de chaque courbe. Un modèle de lien log ou logit garde ses estimations sur l'échelle du lien, comme dans sa vue Coefficients, et la note le dit. Ctrl+C (ou le bouton de copie) met le tableau dans le presse-papiers en texte et en tableau, qu'Excel et Word collent en tableau, avec des étoiles pour p (* ≤ 0,05, ** ≤ 0,01, *** ≤ 0,001) et leur légende ; Fichier › Exporter les résultats du modèle (Ctrl+E), depuis cette vue, l'écrit, avec à côté les coefficients de chaque modèle en nombres.

Fichier › Exporter : les observations (observées, ajustées, prédites en validation croisée, résidus), les coefficients, la qualité de l'ajustement, les effets aléatoires (chaque ordonnée à l'origine et pente aléatoire, et leur corrélation) et les courbes, un tableau chacun. Fichier › Rapport du modèle : le résumé et les coefficients, l'effet de chaque terme, les seuils de chaque courbe, observé / prédit et les résidus (aussi les résidus quantiles, pour des comptages, une présence-absence ou des valeurs positives).

Fichier › Exporter vers R : un script ou un rapport pour une régression aussi, avec lm, nlme::lme, mgcv::gam ou mgcv::gamm : ses lignes et ses termes, les ajustements (REML et ML ; ses pentes aléatoires comprises), la validation croisée par ses groupes, puis les coefficients, l'AIC, le R2, les variances, les courbes avec leur concurvité et leurs seuils (les mêmes tirages que la vue Seuils), les résidus quantiles (les mêmes tirages que la vue Résidus), le jeu de test et les graphiques, vérifiés contre les résultats de Nuée avant d'être écrits.

Termes croisés avec une variable qualitative (onglet Termes croisés, ou a * b et a:b dans la formule R) : une variable qualitative entre dans un terme croisé par chacune de ses catégories, une fois au plus (ni au carré ni au cube). année × secteur laisse la pente de l'année changer d'un secteur à l'autre : ses coefficients sont, pour chaque secteur sauf celui de référence, l'écart entre la pente de l'année dans ce secteur et sa pente dans le secteur de référence, qui est le coefficient de l'année. La catégorie de référence est celle que l'ajustement laisse de côté (la dernière catégorie observée), la même dans l'effet principal et dans le terme croisé. Pour une densité suivie par secteur, un coefficient de 0,2 pour annee*secteur(S2), celui de l'année valant 0,05, se lit : la densité gagne 0,25 par an dans S2, 0,2 de plus que dans le secteur de référence. Sans l'année en X (un facteur sans rôle dans l'onglet Termes croisés, ou y ~ secteur + secteur:année), chaque coefficient de année × secteur est la pente de l'année dans ce secteur ; sans le secteur en X (y ~ année + année:secteur), les pentes diffèrent mais les secteurs partagent une même ordonnée à l'origine. habitat × traitement : chaque coefficient est l'écart entre l'effet d'un traitement (par rapport au traitement de référence) dans un habitat et ce même effet dans l'habitat de référence ; trois variables (année × secteur × habitat) donnent des écarts d'écarts. Le coefficient d'une catégorie elle-même (secteur(S2)) est alors son écart à la catégorie de référence là où les termes croisés avec elle valent 0 : là où l'année vaut 0 (avec les années dans leurs unités, l'an 0, loin des données ; l'année moyenne quand l'année est centrée, Ctr ou UV), dans l'habitat de référence pour habitat × traitement. Les colonnes sont rangées comme R range ses termes, les effets principaux d'abord : les résultats sont ceux de lm(), nlme::lme() et mgcv avec des facteurs dont le premier niveau est la référence de Nuée. Une combinaison de catégories qu'aucune observation n'a (un traitement jamais donné dans un habitat) ne peut pas être estimée : elle est laissée de côté, et le Résumé la nomme parmi les termes jamais observés. Effets : un terme quantitatif croisé avec des catégories a une droite par catégorie (une courbe quand le terme est une courbe d'un GAM), de pente son coefficient plus celui de son produit avec la catégorie, avec sa bande à 95 % tirée de la covariance des coefficients et, sous le graphique, chaque pente par unité avec son intervalle. Pour une courbe, les Seuils sont ceux de la catégorie choisie : la courbe commune plus la pente de cette catégorie ; une courbe par catégorie (s(x, by = f), plus haut) donne à chaque catégorie sa propre forme, et non la même courbe inclinée. Dans la sélection par AIC et la table des apports, un terme croisé entre et sort en entier (toutes ses catégories), seulement avec ses effets principaux et ses termes croisés d'ordre plus bas. Le texte des Méthodes nomme chaque catégorie de référence et dit ce que valent le coefficient d'une catégorie et ceux des termes croisés. Prédiction : une catégorie que le modèle a vue a sa propre prédiction ; une catégorie, ou une combinaison de catégories, qu'il n'a pas vue (absente de ses observations, des autres groupes en validation croisée, ou inconnue du projet dans un fichier) n'en a pas : le modèle la prédirait comme la catégorie de référence, ou sans sa pente, et R refuse de même un niveau qu'il n'a pas vu.

C'est la règle de chaque variable qualitative d'une régression (effets principaux, termes croisés, courbes par catégorie ; LM, LMM, GLM, GAM, mgcv::gamm), pas des autres modèles (PLS...). Ces observations sont comptées et nommées : en validation croisée, le Résumé dit combien sont restées sans prédiction et de quelle variable, Q2 et RMSEcv étant calculés sur les autres ; quand il n'en reste aucune (des secteurs propres à chaque site, validés par site), Q2 manque, et le Résumé dit que le modèle ne peut pas être validé par ces groupes avec cette variable en X fixe : faites-en un effet aléatoire, ou choisissez d'autres groupes de validation croisée. Le jeu de test les compte à part de son RMSEP, de son biais et de son Q2 externe ; Prédiction › Prédire les marque ⊘ (colonne Catégorie non vue, dans le tableau exporté aussi). Le texte des Méthodes et le script d'Exporter vers R font de même.

Un modèle par réponse

Modèle › Un modèle par réponse (pour une régression : LM, LMM, GLM ou GAM) : le même modèle, ses termes, ses effets aléatoires, sa loi, ses courbes, ses observations et la transformation de sa réponse, ajusté à chaque réponse cochée, une espèce après l'autre (un filtre et Toutes / Aucune aident à les choisir). Pour chaque terme, les valeurs p sont corrigées sur les réponses : Benjamini–Hochberg (FDR) par défaut, ou Holm, ou Bonferroni. La vue montre, pour le terme choisi : le coefficient de chaque réponse avec son intervalle à 95 % en forêt, en rouge là où la p corrigée est au plus 0,05 (une courbe : son edf) ; l'effet du terme en petits graphiques, un par réponse (36 au plus) ; et un tableau avec le N, l'AIC, le R² et le Q² de chaque modèle. Une réponse qui ne s'ajuste pas est nommée avec la raison, et les autres restent. « Garder aussi chaque modèle dans le projet » les y ajoute tous, chacun avec ses vues.